Ζεσταίνουμε 2 κ.σ. από το ελαιόλαδο και σοτάρουμε τα κρεμμύδια, το σκόρδο, τα μανιτάρια και τις μισές λιαστές ντομάτες για 3 λεπτά.
Προσθέτουμε τις ψιλοκομμένες τομάτες, 1/2 φλ. νερό, το ξύδι, το κρασί και τον μισό βασιλικό. Αλατοπιπερώνουμε, προσθέτουμε τη ζάχαρη και τα μπαχαρικά και σιγοβράζουμε για 40 λεπτά.
Πολτοποιούμε το μίγμα στο μπλέντερ, προσθέτοντας 2 κουτ. σούπας ελαιόλαδο, και διορθώνουμε το αλάτι.
Ψιλοκόβουμε τις υπόλοιπες λιαστές ντομάτες, τις ανακατεύουμε με το γιαούρτι και τις χτυπάμε με το σύρμα. Αλατοπιπερώνουμε και προσθέτουμε τον υπόλοιπο βασιλικό και το υπόλοιπο ελαιόλαδο.
Σερβίρουμε τη σούπα σε θερμοκρασία δωματίου ή κρύα με μια γερή κουταλιά της σούπας μίγμα γιαουρτιού - λιαστής τομάτας και ελάχιστο λάδι.